我不像贵站人物有那么大的视角，关心整个中国的未来。我呢，只想管我自己高考这个屁大点小事。

但是贵站键政的多，所以也聊聊我的政治观点（别抬杠，我不是政治专业当然一堆错的，有本事你到这个帖子下面找我的毛病，我心服口服）。

首先呢，习近平是屎一样的领导人，我同意。但是我不会“反共”。我说实话，看现在所谓“反贼圈”简直就像打游戏一样玩笑。

再说了，反贼们很想核平支国以解心头之恨，我要是和您们一起我不就是limsupmyIG=0了？

（友情提示，要是连微积分都不会，别想着核平了，我没有别的意思，但是我一个高中生懂得数学物理知识都比你们多，真要动起核武器也该是我先炸你们，笑死）

或者不想核平的话，也会在踩在9000万（被清算）的尸体上建立的“民主”中国里，而且连姓名都不能随便取。

要不这样，民主化之后你们把我划定为“反民主势力”充军发配，送到深圳河前线修建针对香港势力的防核辐射掩体怎么样？

总而言之，我呢，作为底层支，大概率是给党做狗，我是狗我骄傲，世界上只有一种真正的爱国主义，那就是知道自己的国家是一坨屎还使劲的舔。

**我大概算是个支黑吧。**我觉得支国就该在共产党的统治下千秋万代。“我都当了一辈子狗了，不也挺好？”反正开局选三个：支共、核平、民主（清算），其实谁都一样。但是我这么聪明一个人，平白无故被某些仇支分子核平了挺可惜的，所以要核平也得我核平别人。

所以我不仅是支黑，也很瞧不起大部分外国人。当然，真正付出行动的人，无论如何，勇气可嘉，不在歧视范围内。教我的professor们当然也不在歧视范围。

接下来聊聊我的现实情况。我爹妈都是底层支。我呢，长得丑人品次脾气大，唯一的优点就是学习好。所以经常被人说“你不就是学习好点吗？”

我高一上学期已经学完了整个高中的数学，所以现在直接学数学分析，准备参加数学/物理竞赛，目标是清华大学/北京大学（当然以我现在的实力差不多只能C9前七所的水平，一般般吧）。

声明退站。理由一是本低端支狗还需要高考，本人压力很大，没有时间看limsupyourIG=0的人在这玩杂耍。（特别有节目效果的除外）第二是本人的数学帖子没人搭理，随便写的冥婚倒是很多互动，太离谱了。所以不干了，睡大觉，告辞！

这一篇给我加精吼不吼啊？

——————一、波动方程——————

本人就一个高中学生，时间精力有限。所以不懂多少物理原理，对惯性力、达朗贝尔原理什么的也只是听说，故本文就不尝试推导三维球面波的波动方程。但是可以以一个最简单的一维波动方程为例，论述一下波动方程的结构。

假设一个波的形状为：

$$ y=sinx $$

波的传播速度为：每1时间在坐标轴上通过v单位。那么波的位置就是一个时间的函数，即：

$$ y=sin(x+vt) $$

请关注y，y这个变量表示了波上的点偏离平衡位置（y=0）的长度。而这个长度既是x的函数，又是t的函数。分别求偏导得到：

$$ \frac{\partial^2y}{\partial t^2}=-v^2sin(x+vt) $$

$$ \frac{\partial^2y}{\partial x^2}=-sin(x+vt) $$

显然，y对t和x的偏导存在这样的关系：

$$ \frac{\partial^2y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2} $$

他们的商正好是波速的平方。

当然，这只是一个最简单的波动方程。举这个方程的例子是为了说明波动方程的形式为什么普遍是这样的：

$$ \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2 u $$

$$ \nabla^2u=(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})u $$

（即将前面的一维偏导数扩展到三维。物理学家经常使用这个符号：▽，他们称之为“算子”，这个符号也确实有他的简便之处）

对比这两个形式，显然c就是指波速。

——————二、Maxwell电磁方程——————

高中物理没有教过高斯公式之类的，所以我也没法从物理角度阐述，仅从纯数学角度看一下这四个式子：

$$ \nabla·E=\frac{ρ}{\varepsilon} $$

这是高斯公式，数学意义是某一点的电场散度等于电荷密度除以一个常数（即真空或介质的介电常数）。换言之，在没有电荷的空间中，电场的散度为0。

$$ \nabla·B=0 $$

这是高斯磁定律，即磁场的散度为0。也就是说，磁场必定不是有源场，或者用物理的形象语言，就是“磁感线”没有源头，没有尽头，要么是一个无限长的直线，要么是一个闭环。

$$ \nabla×E=-\frac{\partial B}{\partial t} $$

这是著名的法拉第电磁感应定律。这个定律说明，某一点处的磁场强度变化越大，该点产生的电场旋度越大。

旋度这个概念稍显抽象。但是旋度是环量对一点的求导（格林公式，闭合回路的环量等于回路围住的面积之旋度积分。）

所以简单地说，假设有一个闭合导线围住了一块变化的磁场，那么这个磁场强度的变化速度和导线中激发的电场强度是一样的（导线位置固定的前提下）

$$ \nabla×B=\mu J+\mu\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t} $$

这是安培环路定理。这个定理说明：1.变化的电场可以产生磁场，产生磁场的旋度等于电场强度对时间的导数乘以一个常数。2.恒定电流可以产生磁场，电流的密度等于所激发的磁场的旋度乘以一个常数。

这四个公式构成了Maxwell电磁方程。

——————三、电磁统一性——————

现代物理学的大厦，由理论力学、电动力学、热力学与统计物理、量子力学构成。而这四大力学的基本定律，显然就是物理学大厦的四块柱石。

理论力学的基本定律是动量定理，动量定理说明了力和运动内在的联系，其表达形式有角动量守恒定律、牛顿第二定律，至今仍然在经典力学适用的范围内发挥作用。

热力学与统计物理的基本定律是能量转化与守恒定律和基于Carnot循环效率建立的热力学第二定律，揭示了热力过程的基本守则。

量子力学的基本定律是薛定谔方程，在微观世界中发挥作用。

而电动力学的基本定律就是Maxwell电磁方程，这个电磁方程揭示了电和磁作用的规律。

这个方程是建立在电和磁的强度都遵循平方反比上的。如果电场强度大小不遵循平方反比规律，即使电场强度和距离关系是2.00000001次方反比，高斯定律就会被推翻，电和磁的统一性就会被打破，甚至能量守恒定律都将在电磁范围内被重新考察——所以如果证明出不是平方反比，现有的物理学大厦将会倒塌，物理学将会迎来一次新的革命。——当然，如果有上帝的话，我想他不会开这个玩笑。

——————四、光速不变性——————

狭义相对论的先驱是洛伦兹坐标变换。而促使这个变换产生的就是从Maxwell方程中得出的光速不变性。

回顾一下第一节的普适版本波动方程：

$$ \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2 u $$

如果将Maxwell方程导出一个类似于波动方程的形式，如何呢？

数学上，对于向量场有如下的公式：

$$ \nabla×(\nabla×F)=\nabla(\nabla·F)-\nabla ^2F (*)$$

（旋度的旋度等于散度的梯度减梯度的散度）

在真空中没有电流，也没有电荷（但是电场和磁场都有）

所以简化一下Maxwell电磁方程：

$$ \nabla·E=0 (1)$$

$$ \nabla·B=0 (2)$$

$$ \nabla×E=-\frac{\partial B}{\partial t} (3)$$

$$ \nabla×B=\mu\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t} (4)$$

对公式(4)求磁场旋度得到：

$$ \nabla×(\nabla×B)=\mu\varepsilon\nabla×\frac{\partial E}{\partial t}(5)$$

应用公式(*)可以得到：

$$ \nabla(\nabla·B)-\nabla ^2B=\mu\varepsilon\nabla×\frac{\partial E}{\partial t}(6)$$

由于磁场的散度为0，因此：

$$ -\nabla ^2B=\mu\varepsilon\nabla×\frac{\partial E}{\partial t}(7) $$

再对(3)中的电场求导数：

$$ \frac{\partial \nabla×E}{\partial t}=-\frac{\partial ^2B}{\partial t^2}(8) $$

联立公式(7)(8)得到关于磁场B的波动方程：

$$ \frac{\partial ^2B}{\partial t^2}=\frac{1}{\mu\varepsilon}\nabla ^2B $$

根据前面说的波动方程的一般形式，显然地得出光速：

$$ c=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} $$

这两个常数的意思是真空介电常数和真空磁导率。因此，只要这两个参数是不变的，电磁波的波速就不变。无论参照物是什么。

但是经典物理和常识都告诉我们：速度和参照物有关。在19世纪末，很多物理学家认为是参照物没选好导致我们得出了光速“似乎不变”的结论。而她真正的答案被揭开时，物理学史迎来了一场伟大的革命——

光速不变，并非是参照物没有选好所导致，而是因为时间和空间存在的一种特殊的联系。

@NoStepOnSnek #178959 要不怎么说您这个海外高华和我这个低端支人语言不通呢。

但是说过了的话就要进水区了。

我就是想知道“智商上极限为0”？或者“limsupyourIG=0”会不会被转水。你跟我说这个？我知道什么叫说过了我还来问你？

恁就是“人在英国，刚下飞机，读哈耶克，劝你学real analysis”的NSOS吧。说了你少在我这晃悠你还来，完了之后post也没说明白。你是故意找茬是不是啊？

请教一下admin，在我楼下能不能说别人“智商上极限为0”？或者“limsupyourIG=0”

上极限不是上限，上极限是数学用语，上限数学中叫做上界

随便找一个函数，该函数满足以下条件：

（1）其是定义在闭区间I上的连续函数（I不要求是其自然定义域）

（2）其值域也在闭区间I上

（3）其上面至少有一个点，满足f(f(f(x)))=x

那么该函数满足以下特点：

（1）与直线y=x有交点

（2）对任意一个n，都存在一个x，使得：f(f(f(......x[n次复合，n不小于2]......)=x

————————————

这是L-Y定理所阐述的内容。L-Y定理的发表，标志着数学界对混沌现象有了一个严格的数学定义。

L-Y定理发表于1975年，原文链接：https://www.jstor.org/stable/2318254

————————————

参考：常庚哲 史济怀《数学分析教程》中国科学技术大学出版社 p114-118

这功能不会是为我整的吧？谢谢

为了庆祝这个功能，本皇后准备出一期帖子从纯数学角度讲一讲Maxwell电磁方程和光速不变性的推导。

@Wolfychan #178756 文章好坏不在探讨范畴，别再歪楼了。本人是低端支人，高考压力很大，没有太多时间泡论坛聊天（数学帖子例外）

@Wolfychan #178756

这个文章我自己还真不满意。

看帖应该看细致一点。我不满意四个字瞧不见？

@falsehippo #178748 @Wolfychan #178749

我说实话，这个文章我自己还真不满意。要不是你们赞和互动积极，我都想删帖了。

我谢谢你的赞美，但我并不认为这篇文章值得你的赞美。我真正投入心力去写的是数学帖子，这篇真的不过是涂鸦而已。所以我说的也没错。

邏輯上，冤死的人會變成厲鬼，活埋一個人，那人會死，何況買回來活埋肯定是冤死，於是，活埋人不就為自己再添加個厲鬼嗎？

这个我就不知道了。至于细线的意思，先不说吧。暗示和伏笔本是写作中最常见的手段而已，相当于Minecraft游戏里面的刨土和砍树，不能用并不简单形容。

@消极 #178747 所以我挺喜欢你小子的，数学帖子下面就讨论数学，不歪楼。而且被骂还不生气，挺好，能处

@falsehippo #178741 那我只能说你这审美也太次了，我的专长是数学和物理……

永明山下的秋雨天，淅淅沥沥，凄凄惨惨。这雨仿佛一张张无孔不入的大网，要将这世间的一切隔绝开来，拿这大网紧紧缚住，教你锁在你那小屋中，听这雨声从白天拖到夜里，又从夜里拖到白天。

老黄家的堂屋里，供桌正中摆着两支红烛，烛光一闪一闪地摇曳着，照着靠在墙上的两幅画像，是一对年轻的、脸上含笑的新人，指如削葱根，口如含朱丹。纤纤作细步，精妙世无双。

红烛忽明忽暗的光影，照着堂屋用黄泥砖砌的墙，坑坑洼洼，漏下的雨水裹挟着剥下来的黄泥顺墙而下，如同人血将尽时流的血浆。两幅画像之间的墙上，写着两行小字：

破除封建迷信

毛澤東思想萬歲

供桌下的长凳支棱着，撑着两副漆成血红的棺材。棺材里面摆放着这对身着大红的新人，女孩子的脖子上有一道细细的红色血痕。两副棺材的方位已经按照合乎风水的位置摆好，只等晴天送出去合葬。

巫覡将两副棺材盖好，各封一个喜字。忽然如同承载了两副棺材的全部重量一般，几乎要倒，眼睛一翻，直跪于地，将将扶住棺材，方才睁眼，看看手所在的位置，正好压在两个喜字上。巫覡微露喜色，唱道：

阿拉唉以阿拉唉以哟……

斯的唉以哈拉里……

啊矣矣啊矣矣呜呼……

这嗓音沙哑而可怖，似乎要带着这两个魂灵杀出雨帘的重围，到山中找寻某个可以安歇的去处。这努力在密匝的雨网中益发徒劳，老黄听着，仿佛回荡了好久又撞回来，仔细一听，似乎除了雨声什么也听不到。

巫覡唱罢，回身对手足无措跪在席上的老黄祝道：今日大喜，大喜。两人对这婚事都十分满意，必定保佑你家百年。

……

诸事已毕，天早已如漆一般，四面合围的黑。巫覡走时，身着一个同样黑的斗篷。淅淅沥沥的雨，缠在这无尽的黑上，很快便将他沉没了，如同拉上一道黑色的幕帘。

“当、当。”两声，有人用他门上的铁环叩门。未及开门，听到一个漫不经心的嗓音：“瘸子爹，村长让我捎个信，明天上他家吃饭。”老黄侧耳一听，隐隐听到细微的声音，道：“他们说这几天祠堂老是闹鬼，说是有个枉死的……”“啪！”“快闭嘴！狗东西莫乱讲，小心女鬼上身！”

————————————

瘸子腿没毛病，是小时候发高烧，他妈借口带他去乡卫生所看病，到乡里直接扔下他自己跑了。瘸子因此耽误了治疗，落下了走路不方便的病根。

瘸子念的书和他的妈一样，不知何来，不知何往。念到初中，便和村长儿子他们打架滋事。哪天打出的事情，老黄已经不记得了。只记得他是在永明山的矿上听到瘸子死讯的。

……

村长赔了十万块钱。村长说，七万块钱找个死掉的姑娘配上，一道埋了。那三万你再弄一个媳妇来都行，不信你交给我，都包在我身上。

接着，那个姑娘就被装在一个麻袋里，趁着雨夜送了过来。

老黄不禁冒出了一个可怖的念头：这姑娘怕是弄死的吧？老黄记得清楚，他打开这个麻袋，细细看将去，姑娘已经被扒光，身上所有早已可卖则卖，唯独脖子后面有几匝密密的、像是针缝的细线。

人是村长弄来的。

————————————

翌日中午，天色由漆黑渐渐变得昏黄。

村长家的电时断时续，在忽明忽暗的灯光下，村长家在桌上的几口人直勾勾地瞪着进来的老黄。村长媳妇在堂下和一个神婆叨叨着，忽然看见老黄进来，眼神立刻转为惊恐。

这顿饭从中午吃到晚上。老黄不想问村长什么，因为村长毕竟只花了七万块钱就弄成了这么好的一桩冥婚。不过这个问题已经不重要了，因为村长家里已经事先备下了一副百斤的水泥棺材，并由村长媳妇向神婆讨教将活人封棺埋入村里祠堂，以镇压祠堂里女鬼的机宜。

夜里，多日的秋雨终于停下，云开月出，天明如镜。

@消极 #178611 所以作业和例题是有联系的，你不必舍近求远找这么个特殊的函数。

链接：

https://www.bilibili.com/video/BV1cL411V7Zr

@natasha #178604

发现后台给这篇文章加了精

实至名归！

顺便骂一下后台，我写了那么多数学帖子凭什么不给我加精

闭区间上连续函数的性质，有五个定理概括：

1.有界闭区间上的连续函数必然是一致连续的函数。（一致连续：对任意给定ε，都有一个δ，使得当|x1-x2|<δ，时，对任意的x1,x2，都有|f(x1)-f(x2)|<ε）

2.有界闭区间上的连续函数必然在该区间上有界。

3.有界闭区间上的连续函数必然能取到其上下确界。

4.有界闭区间上的连续函数，其在区间两端的值如果异号，则必有零点。

5.[a,b]上的连续函数，任意x1,x2，且γ∈[f(x1),f(x2)]，则必有一个x，使得f(x)=γ。

证明非常简单，我就不搬运了。主要是谈谈由连续函数引起的几道证明题。

————————————

以下题目参考：常庚哲 史济怀《数学分析教程》中国科学技术大学出版社p110

————第一题————

设φ∈C(R)，且有：【注：C(R)是R上连续函数的集合】

lim(φ(x)/(x^n))=0 （x趋于∞，无论正负）

证明：若n为奇数，方程x^n+φ(x)=0有一个实根。

x^n+φ(x)=x^n(1+φ(x)/(x^n))。显然，当x→+∞时，x^n(1+φ(x)/(x^n))→+∞。当x→-∞时，x^n(1+φ(x)/(x^n))→-∞

根据上述定理4，方程x^n+φ(x)=0有一个实根。

证明：若n为偶数，f(x)=x^n+φ(x)在R上存在最小值。

（思路：找出一个递减区间(-∞,a)和递增区间（b,+∞）即可。因为[a,b]上必定能找到最小值。）

————第二题————

设f∈C[0,1]且f(0)=f(1)。求证：对任何n∈N且n≥2，存在xn∈[0,1]使得f(xn)=f(xn+1/n)

证明：将区间[0,1]分成n份。

g(x0)=f(1/n)-f(0)

g(x1)=f(2/n)-f(1/n)

......

g(x(n-1))=f(1)-f((n-1)/n)

将所有各列全部求和，得到：

Σg(x(i))=0。

因此，这些所有g(x(i))要么全为0，要么存在至少两项异号。根据前述定理4，存在xn∈[0,1]使得f(xn)=f(xn+1/n)。

————压缩映射————

设映射f:[a,b]→[a,b]。若对任意x,y∈[a,b]，都有常数k<1，|f(x)-f(y)|<k|x-y|，则称f是[a.b]的压缩映射。

压缩映射在迭代函数上的应用广泛，但是本人并不了解多少数学之外的东西，因此不多讲。

仅从数学上论述压缩映射原理：设f是[a,b]上的一个压缩映射。则f在[a,b]上必有稳定点。即存在z∈[a,b]，f(z)=z。

设a0=a,b0=b。归纳地定义：

ai+1=f(ai) b(i+1)=f(bi)

设一个数列

{An}=a0,a1,a2,a3......

{Bn}=b0,b1,b2,b3......

{Cn}={An}-{Bn}

显然，Cn<|b0-a0|k^n

因为0<k<1，显然limCn=0。即limbn=liman。

根据压缩映射的定义，an<f(an)<bn。因此，n→∞时，有f(an)=an。

故题设z已经找到。

————小作业————

上述结论在[a,b]上成立已经论证，下面请判断上述结论在R上是否成立。

@NoStepOnSnek #178401 你要搞什么东西你自己搞去，跟我没关系不要在我这评论。

而且我挺烦你的，你不要没事在我这晃悠，很招人讨厌。

@消极 #178453 这函数也太特殊了吧……其实我想的是这种：

R(x)=1 x=0 R(x)=q x=p/q,pq互质 R(x)=0 x是无理数

@消极 #178424 我说错了，是所有邻域上均无界

柯西收敛准则是指，一个数列收敛的充分必要条件是该数列是基本列。而一个基本列即满足，对任意ε>0，总有一个充分大的N，满足当m,n>N时：

|am-an|<ε

函数极限的柯西收敛准则是指，【未特殊注明，均指x趋向于x0】limf(x)存在的充要条件是，对任意ε>0，总存在δ>0，使得任意x1,x2，满足0<|x1-x0|<δ&0<|x2-x0|<δ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε。

必要性很简单，不作证明。主要证明充分性。

设数列{xn}极限为x0。则有一个充分大的N，满足当m,n>N时，对任意的δ>0，都有

0<|xm-x0|<δ,0<|xn-x0|<δ

因此有：

|f(xm)-f(xn)|<ε

根据数列的柯西收敛准则，数列{f(xn)}存在极限。

任取两个符合上面条件的数列{f(xn)},{f(yn)}，下面需要证明这两个数列趋于同一个极限。这样做的目的是为了推出这个数列的极限就是函数的极限*（这一步利用了函数极限的一个定理）*。

设zn={x1,y1,x2,y2,...}

可见{f(zn)}显然也满足前面{f(xn)}满足的条件：

|f(zm)-f(zn)|<ε

所以，{f(zn)}收敛，其子列{f(xn)}和{f(yn)}都必然收敛于同一个值。

这就证明出了limf(x)的存在。

————————————

再谈谈黎曼函数。黎曼函数的形式为：

R(x)=1 x=0 R(x)=1/q x=p/q,pq互质 R(x)=0 x是无理数

这个函数一个特殊的地方在于，任意一点都有极限而且处处极限为0。在这里给出简要证明。

以有理点为例分析。

R(x)=1/q x=p/q,pq互质

现在要证明极限为0。而无理点值为0不需要证明。主要是有理点。观察可以发现，有理点的q越大，则R(x)值越小。因此，只需要证明：对任何一个给定的有理数，越趋近于他，则q越大。

假设一个在定义域内的有理数a/b。假设x-a/b=1/r，且b，r互质。则r越大，越接近a/b。而此时：

x=1/r+a/b=(b+ar)/br

因为b,r互质，则此时已经达到最简形式（其实br互质与否不影响最终结果，我这里只给出最快达到结果的路径，至于其他情况的推广不予赘述）

所以，此时R(x)=1/br。当r充分大，R(x)则充分小。因此，limR(x)=0。

这就是黎曼函数极限的证明。

——————————————

一道小作业：试构造出一个函数，其在所有邻域上均发散。

——————————————

参考：常庚哲 史济怀《数学分析教程》 中国科学技术大学出版社 page70-78

@NoStepOnSnek #178305 已经删了。现在你转回来。

以后你觉得不适当发言之处，请先私信让我整改，不要直接转水。

https://2047.one/t/17396

我认为你站管理员将纯数学帖子转水是极其错误的，提出抗议，并要求转回技术分区。

同时建议某位管理员少管点事为好

@NoStepOnSnek 为什么转水？依据什么站务规定

即日起，本人的数学帖子下面只许聊数学有关的，否则一概视为骚扰，直接删贴并向admin投诉。

数学相关的可以聊很多，当然，如果有人能对我的数学论证过程加以改进，或者指出论证过程的问题，那就是坠吼的！

本站是楼主负责制。我不会在本人帖子下面做一些攻击贬损他人的下流事情，所以admin不要没事来我这删帖控评，做这些你们自以为能有利于本站的事情。实际上你们中姿势水平比我高的没有几个，就不要犯“致命的自负”了。

当然admin给我点赞和探讨数学我是很欢迎的。

@falsehippo #178222 @消极 #178223 @Wolfychan #178258

数学的帖子下面还是讨论数学论证为好。今后不要跑题，这些我控评了

墙国的理工教育体系移植自苏联教材的士大夫翻译版缩水版，同时也继承了莫斯科学派重视数学的传统，但是士大夫的基础内功不牢，而且孔乙己的那种毛病不少。

I'm not proud of you when you comment my professor in this way

所以绝大多数实数不是代数方程的根

代数方程，即

a0*x^n+a1*x^(n-1)+a2*x^(n-2)+……+an=0

形式的方程。当然，方程所有项的系数都是整数。写成向量形式就是：

假设A=(a0,a1,a2,...,an) B=(x^n,x^(n-1),...,x,1)

则Atr(B)=0

上述方程的解被称为：代数数。与代数数相对的一类数则被称为：超越数。

显然，有理数都是代数数。对于任意一个有理数p/q而言，他都是一下方程的根：

qx-p=0

而常见的无理数基本上都是代数数。如√2、√3等，都是

ax^2-b=0

形式的代数方程的根。

因此，长期以来，超越数是被认为（至少在实数范围内）不存在的。

1844年，第一个超越数被Liounvile发现。他证明出，以下形式的数字是超越数（证明过程恕不搬运）

a1/10+a2/(10^2!)+a3/(10^3!)+a4/(10^4!)+a5/(10^5!)+...

a0,a1...∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

1873年，Hermile证明出e是超越数。1882年，π也被证明出是超越数。

但相比于逐个搜寻超越数，一个更有意义的发现是代数数集合可数性的证明。

对代数方程Atr(B)=0，可以证明一个n阶代数方程在复数范围内必有n个根。

设一个代数方程的高为：

N=n+|a0|+|a1|+|a2|+...+|an|

显然，对任何一个确定的N，代数方程的系数组合都是有限的。那么显然，这个方程的可能的解也是有限的。

而N个有限集的并集是一个可数集（即使N→∞）。

所以，所有代数数的集合也是一个可数集。但是实数集是一个不可数集合。所以就有了以下结论：

代数数的数量远小于超越数

根据B-W定理，有界数列必然存在可以收敛的子列。

当然，闭区间套定理也可以证明上述结论。证明思路：无论将整个区间分为多少小份，总存在至少一个区间内，有无数个项。因此，对于任意小的区间，都可以提出一个子列，该子列有无数个项落在该区间中。满足柯西收敛准则，因此是收敛子列

有收敛子列就意味着存在上下极限（当然，事实上发散数列也存在上下极限，因为∞也可以是上下极限）。

设x的极限点集合为E，而supE=L，infE=l。

当L=l时，该数列显然收敛数列。

当L>l时，假设存在某个数字a∈[l,L]，a∉E。那么必然存在一个区间(a-ε,a+ε)⊂[l,L]，E与该区间的交集为∅。则存在一个足够大的数值N，当n>N时，xn的值不会落在(a-ε,a+ε)中。但是l和L都能取到。

这就会出现一个矛盾：在区间[l,a-ε]和[a+ε,L]中都有极限，但是(a-ε,a+ε)中没有（子列的）极限。所以，必然存在i，i+1∈R，xi∈[l,a-ε]，x(i+1)∈[a+ε,L]，或者相反的情况。这违背了题设条件lim(x(n+1)-xn)=0.因此，子列的极限值必须充满区间[1,L]。

所以该数列不一定收敛。举一个例子：数列{an}满足：

an=n/10 n∈[1,10] an=3/2-n/20 n∈[10,30] an=n/40-3/4 n∈[30,70] ……

此时，n的极限就是布满区间[0,1].

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参考：《数学分析教程》中国科学技术大学出版社 page 51

@NoStepOnSnek #178067 多友善我做不到。但是我可以做到除了找管理员反映站务问题之外，都在我自己楼内活动。别人的事情我一句话也不说。

你要是能做到友善/建设性，那就没问题，做不到，尽早拉黑。

shantiekongping

事由：

https://2047.one/t/17373

这位叫做NoStepOnSnek的用户上来一顿喷。

消极关注的是对第一段命题的证明。这个命题的成立确实需要completeness，实数线如果没有completeness你连极限都取不了，而且这个命题确实本来也跟e没有什么关系，证明是用limsup。

之前消极说，这个命题和e没什么关系。我当时给出的答复是;

如果没有这个命题，你怎么推出an=(1+1/n)^n和bn=1+Σ(1/n!)收敛于同一个值

显然，这位叫做NoStepOnSnek的用户根本没有看我的回帖就直接喷了下面这一段话。我在这里已经表述了，正是因为有这个命题，我才能推出an=(1+1/n)^n和bn=1+Σ(1/n!)收敛于同一个值的意思。当然，NoStepOnSnek是海外高华，我是墙内低端支人，语言不通也可以理解。

只是你举得这两个数列的极限趋于e，命题本身的意义却比这两个例子要更广泛的多。这些知识是在大学数学专业课Real Analysis里所学的，你说是废话是因为你不知道，年轻人要多点谦虚之心。

这句话语气好不好听，我就不评价了。当然，说消极的评论是废话是我不对，确实这个文章本身有一些引起误解的地方。

我唯一的诉求就是，请NoStepOnSnek，及其他愿意在我楼下评论的人，在评论之前可以先点个赞或者语气客气一点。我不是图这个论坛这几个破点赞，而是希望你们有一个友善的态度。

@NoStepOnSnek