柯西收敛准则是指，一个数列收敛的充分必要条件是该数列是基本列。而一个基本列即满足，对任意ε>0，总有一个充分大的N，满足当m,n>N时：
|am-an|<ε
函数极限的柯西收敛准则是指，【未特殊注明，均指x趋向于x0】limf(x)存在的充要条件是，对任意ε>0，总存在δ>0，使得任意x1,x2，满足0<|x1-x0|<δ&0<|x2-x0|<δ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε。
必要性很简单，不作证明。主要证明充分性。
设数列{xn}极限为x0。则有一个充分大的N，满足当m,n>N时，对任意的δ>0，都有
0<|xm-x0|<δ,0<|xn-x0|<δ
因此有：
|f(xm)-f(xn)|<ε
根据数列的柯西收敛准则，数列{f(xn)}存在极限。
任取两个符合上面条件的数列{f(xn)},{f(yn)}，下面需要证明这两个数列趋于同一个极限。这样做的目的是为了推出这个数列的极限就是函数的极限*（这一步利用了函数极限的一个定理）*。
设zn={x1,y1,x2,y2,...}
可见{f(zn)}显然也满足前面{f(xn)}满足的条件：
|f(zm)-f(zn)|<ε
所以，{f(zn)}收敛，其子列{f(xn)}和{f(yn)}都必然收敛于同一个值。
这就证明出了limf(x)的存在。
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再谈谈黎曼函数。黎曼函数的形式为：
R(x)=1 x=0 R(x)=1/q x=p/q,pq互质 R(x)=0 x是无理数
这个函数一个特殊的地方在于，任意一点都有极限而且处处极限为0。在这里给出简要证明。
以有理点为例分析。
R(x)=1/q x=p/q,pq互质
现在要证明极限为0。而无理点值为0不需要证明。主要是有理点。观察可以发现，有理点的q越大，则R(x)值越小。因此，只需要证明：对任何一个给定的有理数，越趋近于他，则q越大。
假设一个在定义域内的有理数a/b。假设x-a/b=1/r，且b，r互质。则r越大，越接近a/b。而此时：
x=1/r+a/b=(b+ar)/br
因为b,r互质，则此时已经达到最简形式（其实br互质与否不影响最终结果，我这里只给出最快达到结果的路径，至于其他情况的推广不予赘述）
所以，此时R(x)=1/br。当r充分大，R(x)则充分小。因此，limR(x)=0。
这就是黎曼函数极限的证明。
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一道小作业：试构造出一个函数，其在所有邻域上均发散。
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参考：常庚哲 史济怀《数学分析教程》 中国科学技术大学出版社 page70-78
