只指责不建设的是真的烦，哪怕你说我之前先给我点个赞也好

@NoStepOnSnek #178051 在你批评我之前你应该先做到充分理解我的意思。

我说的是，an和bn满足这个命题，所以他们极限相同。我正是利用了这个命题证明他们都收敛于e。https://2047.one/t/17376所以我说有关系。**至于这个命题自己的证明，和e当然没有任何关系。**我再蠢也不至于Real Analysis和实数体系的连续性都不知道，你在这里教育别人之前先看看自己。

@falsehippo #178024 题目做得好，轮得上给中共当走狗。题目做的不好的，还不知道死哪去呢

本人投诉：https://2047.one/t/17373#178012

此人在本人楼下歪楼，应该按照规定处罚，本人最烦在学术帖子底下给我掺和政治私货

对an应用二项式定理展开：

an=1+1/n*n+1/n^2*n(n-1)/2!+1/n^3*n(n-1)(n-2)+...

an=1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)*(1-2/n)*(1-3/n)/3!+...

显然，an<bn

再设一个m，m比起n足够小。则有：

an>am。

am=1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)*(1-2/n)*(1-3/n)/3!+...(1-1/n)*(1-2/n)*(1-3/n)*...*(1-m/n)/m!

因为m远小于n，所以：

am=1+1+1/2!+1/3!+...1/m!=bm

因此，当m远小于n时，有bm<an<bn.

下面应用两种定理证明本结论。

首先证明bn有极限。

0<bn<1+1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)=3 依据：2^n<n!

bn是单调递增数列。根据单调有界原理，bn有极限。假设limbn=b。

1.柯西收敛准则

设m，n足够大，以至于对任意给定实数ε，都有bn∈(b-ε/2,b+ε/2)。此时|bm-bn|<ε。因此，对于任意N1，N2>n，都有|aN1-aN2|<ε。

所以，an是收敛数列。

2.夹逼定理

设bm<an<bn，而limbm=limbn=b。所以，liman=b。

因此，an=(1+1/n)^n和bn=1+Σ(1/n!)收敛于同一个值。当然，这个值就是自然对数的底数e。

@消极 #177983 下次在我这废话之前，点个赞先。

如果没有这个命题，你怎么推出an=(1+1/n)^n和bn=1+Σ(1/n!)收敛于同一个值

两个数列{an}{bn}，当m和n充分大时，对于所有n，均有an<bn。同时对于任意一个m，都能找到一个N，使得在n>N时，满足an>bm。那么，如果bn收敛于b，则an也收敛于b。

这个命题和e关系很大。稍有微积分常识的人都知道，有两种极限趋近于e：

an=(1+1/n)^n

bn=1+Σ(1/n!)

而这个an和bn也满足上面题目所描述的条件。因此他们的极限是相同的。

@消极 #177895 没有这个条件的限制。

而且a,b,c在我这里表示的是点不是边，点的长度是零，不能做加减法。。。。。。

来源：《数学分析教程》 中国科学技术大学出版社 page12 作者：常庚哲，史济怀

假设a,b,c是三个给定的实数。令a0=a,b0=b,c0=c，并归纳地定义：

证明：数列{an},{bn},{cn}都有极限，且极限是1/3(a+b+c)。

当然，这个题目非常好证明，而且证明方法多而精彩。所以证明过程我就不写了。非要我写的话，请先打赏8.964人民币。

但是这个题目值得分享的地方在于，其几何表述非常有趣。显然，a1就是b0和c0的中点。假设有一个三角形，三个端点分别是a0,b0,c0.

obviously，从a0到an，这个三角形的面积在不断递减，而且下一个三角形的面积是上一个三角形的一半。由极限的定义可以证明，当n趋向于无穷的时候，这个三角形面积为零。进一步得出结论：an=bn=cn=1/3(a+b+c)。