根据B-W定理,有界数列必然存在可以收敛的子列。
当然,闭区间套定理也可以证明上述结论。证明思路:无论将整个区间分为多少小份,总存在至少一个区间内,有无数个项。因此,对于任意小的区间,都可以提出一个子列,该子列有无数个项落在该区间中。满足柯西收敛准则,因此是收敛子列
有收敛子列就意味着存在上下极限(当然,事实上发散数列也存在上下极限,因为∞也可以是上下极限)。
设x的极限点集合为E,而supE=L,infE=l。
当L=l时,该数列显然收敛数列。
当L>l时,假设存在某个数字a∈[l,L],a∉E。那么必然存在一个区间(a-ε,a+ε)⊂[l,L],E与该区间的交集为∅。则存在一个足够大的数值N,当n>N时,xn的值不会落在(a-ε,a+ε)中。但是l和L都能取到。
这就会出现一个矛盾:在区间[l,a-ε]和[a+ε,L]中都有极限,但是(a-ε,a+ε)中没有(子列的)极限。所以,必然存在i,i+1∈R,xi∈[l,a-ε],x(i+1)∈[a+ε,L],或者相反的情况。这违背了题设条件lim(x(n+1)-xn)=0.因此,子列的极限值必须充满区间[1,L]。
所以该数列不一定收敛。举一个例子:数列{an}满足:
an=n/10 n∈[1,10] an=3/2-n/20 n∈[10,30] an=n/40-3/4 n∈[30,70] ……
此时,n的极限就是布满区间[0,1].
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参考:《数学分析教程》中国科学技术大学出版社 page 51