闭区间上连续函数的性质，有五个定理概括：
1.有界闭区间上的连续函数必然是一致连续的函数。（一致连续：对任意给定ε，都有一个δ，使得当|x1-x2|<δ，时，对任意的x1,x2，都有|f(x1)-f(x2)|<ε）
2.有界闭区间上的连续函数必然在该区间上有界。
3.有界闭区间上的连续函数必然能取到其上下确界。
4.有界闭区间上的连续函数，其在区间两端的值如果异号，则必有零点。
5.[a,b]上的连续函数，任意x1,x2，且γ∈[f(x1),f(x2)]，则必有一个x，使得f(x)=γ。
证明非常简单，我就不搬运了。主要是谈谈由连续函数引起的几道证明题。
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以下题目参考：常庚哲 史济怀《数学分析教程》中国科学技术大学出版社p110
————第一题————
设φ∈C(R)，且有：【注：C(R)是R上连续函数的集合】
lim(φ(x)/(x^n))=0 （x趋于∞，无论正负）
证明：若n为奇数，方程x^n+φ(x)=0有一个实根。
x^n+φ(x)=x^n(1+φ(x)/(x^n))。显然，当x→+∞时，x^n(1+φ(x)/(x^n))→+∞。当x→-∞时，x^n(1+φ(x)/(x^n))→-∞
根据上述定理4，方程x^n+φ(x)=0有一个实根。
证明：若n为偶数，f(x)=x^n+φ(x)在R上存在最小值。
（思路：找出一个递减区间(-∞,a)和递增区间（b,+∞）即可。因为[a,b]上必定能找到最小值。）
————第二题————
设f∈C[0,1]且f(0)=f(1)。求证：对任何n∈N且n≥2，存在xn∈[0,1]使得f(xn)=f(xn+1/n)
证明：将区间[0,1]分成n份。
g(x0)=f(1/n)-f(0)
g(x1)=f(2/n)-f(1/n)
......
g(x(n-1))=f(1)-f((n-1)/n)
将所有各列全部求和，得到：
Σg(x(i))=0。
因此，这些所有g(x(i))要么全为0，要么存在至少两项异号。根据前述定理4，存在xn∈[0,1]使得f(xn)=f(xn+1/n)。
————压缩映射————
设映射f:[a,b]→[a,b]。若对任意x,y∈[a,b]，都有常数k<1，|f(x)-f(y)|<k|x-y|，则称f是[a.b]的压缩映射。
压缩映射在迭代函数上的应用广泛，但是本人并不了解多少数学之外的东西，因此不多讲。
仅从数学上论述压缩映射原理：设f是[a,b]上的一个压缩映射。则f在[a,b]上必有稳定点。即存在z∈[a,b]，f(z)=z。
设a0=a,b0=b。归纳地定义：
ai+1=f(ai) b(i+1)=f(bi)
设一个数列
{An}=a0,a1,a2,a3......
{Bn}=b0,b1,b2,b3......
{Cn}={An}-{Bn}
显然，Cn<|b0-a0|k^n
因为0<k<1，显然limCn=0。即limbn=liman。
根据压缩映射的定义，an<f(an)<bn。因此，n→∞时，有f(an)=an。
故题设z已经找到。
————小作业————
上述结论在[a,b]上成立已经论证，下面请判断上述结论在R上是否成立。