一个在数学史上影响深远的问题：所有实数都是代数方程的根吗？
代数方程，即
a0*x^n+a1*x^(n-1)+a2*x^(n-2)+……+an=0
形式的方程。当然，方程所有项的系数都是整数。写成向量形式就是：
假设A=(a0,a1,a2,...,an) B=(x^n,x^(n-1),...,x,1)
则Atr(B)=0
上述方程的解被称为：代数数。与代数数相对的一类数则被称为：超越数。
显然，有理数都是代数数。对于任意一个有理数p/q而言，他都是一下方程的根：
qx-p=0
而常见的无理数基本上都是代数数。如√2、√3等，都是
ax^2-b=0
形式的代数方程的根。
因此，长期以来，超越数是被认为（至少在实数范围内）不存在的。
1844年，第一个超越数被Liounvile发现。他证明出，以下形式的数字是超越数（证明过程恕不搬运）
a1/10+a2/(10^2!)+a3/(10^3!)+a4/(10^4!)+a5/(10^5!)+...
a0,a1...∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
1873年，Hermile证明出e是超越数。1882年，π也被证明出是超越数。
但相比于逐个搜寻超越数，一个更有意义的发现是代数数集合可数性的证明。
对代数方程Atr(B)=0，可以证明一个n阶代数方程在复数范围内必有n个根。
设一个代数方程的高为：
N=n+|a0|+|a1|+|a2|+...+|an|
显然，对任何一个确定的N，代数方程的系数组合都是有限的。那么显然，这个方程的可能的解也是有限的。
而N个有限集的并集是一个可数集（即使N→∞）。
所以，所有代数数的集合也是一个可数集。但是实数集是一个不可数集合。所以就有了以下结论：
代数数的数量远小于超越数
文德郭皇后admin和喷子少来烦我 所以绝大多数实数不是代数方程的根
外逃贪官CA
Prometheus兄弟连，101空中突击师 如果你对自己数学有信心，可以考虑两条路，在科学理论领域：物理学，计算机科学，AI，这些领域只需要顶尖的极少数人，在欧美都是抢手的人才，就像牛顿、爱德华·威滕那一类伟大的人物，500年后没有人会记得政治局的书记是谁，但会记得你。
纯数学不要太痴心期望过高，其实最顶尖的纯数学家也常偷偷借鉴其他学科的知识。墙国的理工教育体系移植自苏联教材的士大夫翻译版缩水版，同时也继承了莫斯科学派重视数学的传统，但是士大夫的基础内功不牢，而且孔乙己的那种毛病不少。数学与现实观测的互动闭环反馈证伪，虚实两者模型相互借鉴共同进化才是科学的真谛和优雅。俄国也只学会了一半不到，大部分是重工业或具体的武器开发的工程化，科学领域的几次革命跟他没什么关系。
另一条路是应用领域，工程、技术开发，大部分搞理论的人硕士毕业就转应用了，因为毕竟牛顿也就几百年才出一个，马斯克在学校正是认识到这一点，先去的硅谷摸爬滚打，后又去航天、汽车创业。不管你在哪里，不能申请到项目经费，就无法实现自己的报负。纯数学很难申请大量经费。毕竟数学家也要结婚、养家。
文德郭皇后admin和喷子少来烦我 墙国的理工教育体系移植自苏联教材的士大夫翻译版缩水版，同时也继承了莫斯科学派重视数学的传统，但是士大夫的基础内功不牢，而且孔乙己的那种毛病不少。
I'm not proud of you when you comment my professor in this way
Prometheus兄弟连，101空中突击师 @文德郭皇后 <#178231> 我在描述的是整体的大环境，不针对任何个人。我说的也是个人的认知，不一定对，你批判地看。
更确切的说，是钱学森对温家宝的提问，钱学森之问。问题的答案是多方面，开放的。
岿然宽衣
奭麦郎满辗鲜衣八岿合艰萨逆疯金颐提酵甚瞻冰坡秩歼殊淆冯 超越数是本科时候上的某一节高数课学到的知识，颠覆了我之前的认知
