代数方程,即
a0*x^n+a1*x^(n-1)+a2*x^(n-2)+……+an=0
形式的方程。当然,方程所有项的系数都是整数。写成向量形式就是:
假设A=(a0,a1,a2,...,an) B=(x^n,x^(n-1),...,x,1)
则Atr(B)=0
上述方程的解被称为:代数数。与代数数相对的一类数则被称为:超越数。
显然,有理数都是代数数。对于任意一个有理数p/q而言,他都是一下方程的根:
qx-p=0
而常见的无理数基本上都是代数数。如√2、√3等,都是
ax^2-b=0
形式的代数方程的根。
因此,长期以来,超越数是被认为(至少在实数范围内)不存在的。
1844年,第一个超越数被Liounvile发现。他证明出,以下形式的数字是超越数(证明过程恕不搬运)
a1/10+a2/(10^2!)+a3/(10^3!)+a4/(10^4!)+a5/(10^5!)+...
a0,a1...∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
1873年,Hermile证明出e是超越数。1882年,π也被证明出是超越数。
但相比于逐个搜寻超越数,一个更有意义的发现是代数数集合可数性的证明。
对代数方程Atr(B)=0,可以证明一个n阶代数方程在复数范围内必有n个根。
设一个代数方程的高为:
N=n+|a0|+|a1|+|a2|+...+|an|
显然,对任何一个确定的N,代数方程的系数组合都是有限的。那么显然,这个方程的可能的解也是有限的。
而N个有限集的并集是一个可数集(即使N→∞)。
所以,所有代数数的集合也是一个可数集。但是实数集是一个不可数集合。所以就有了以下结论:
代数数的数量远小于超越数