对an应用二项式定理展开：
an=1+1/n*n+1/n^2*n(n-1)/2!+1/n^3*n(n-1)(n-2)+...
an=1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)*(1-2/n)*(1-3/n)/3!+...
显然，an<bn
再设一个m，m比起n足够小。则有：
an>am。
am=1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)*(1-2/n)*(1-3/n)/3!+...(1-1/n)*(1-2/n)*(1-3/n)*...*(1-m/n)/m!
因为m远小于n，所以：
am=1+1+1/2!+1/3!+...1/m!=bm
因此，当m远小于n时，有bm<an<bn.
下面应用两种定理证明本结论。
首先证明bn有极限。
0<bn<1+1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)=3 依据：2^n<n!
bn是单调递增数列。根据单调有界原理，bn有极限。假设limbn=b。
1.柯西收敛准则
设m，n足够大，以至于对任意给定实数ε，都有bn∈(b-ε/2,b+ε/2)。此时|bm-bn|<ε。因此，对于任意N1，N2>n，都有|aN1-aN2|<ε。
所以，an是收敛数列。
2.夹逼定理
设bm<an<bn，而limbm=limbn=b。所以，liman=b。
因此，an=(1+1/n)^n和bn=1+Σ(1/n!)收敛于同一个值。当然，这个值就是自然对数的底数e。