1.群是什么？

群是一种特殊的集合。（为什么群不直接叫集合而叫群呢？因为群论诞生的时候集合论还早呢）。群中的元素满足如下特点：定义加法（或乘法）运算，存在单位元，单位元的意思是，假如有一个单位元e，e+a=a（对于加法群），或者ea=a（对于乘法群）。所有元素都有逆元，意思是，对任何群的元素a，都能找到一个b，使得ab=e（或者a+b=e）。

群一定是封闭的，比如对一个乘法群来说，其中任意两个元素相乘结果一定还是群中的元素。

举一些典型群的例子，如整数集构成加法群，单位元为0。非0有理数集构成乘法群，单位元为1。还存在一些群元素有限，比如｛1, √ 3 ／2－1／2, -√ 3 ／2－1／2｝。这个集合构成一个乘法群。（实际上这个集合是x^3=0的解。）

再比如，所有除3余2的数、除3余1的数、3的倍数也构成乘法群，表示为｛0(mod 3), 1(mod 3), 2(mod 3)｝,或者Z3。

2.两个群的交集只有两种情况，要么为空集，要么为单位元，要么为一个群，不会出现任何其他情况。

道理很明显，假设两个群A，B交集中有两个元素分别为e和一个不同元素a。那么a* a一定还是A中的元素（因为A是群，封闭）也一定还是B中的元素（同理），所以一定还是交集中的元素。同样的道理，所有可以由a“生成”的元素都在这个交集中。再次同样的道理，a的逆元肯定也在这个交集中。所以交集也是个群。

哦对了，如果这个群的所有元素都可以由a生成，我们称之为循环群。循环群的一个例子是，模3剩余类。而这种自己本身是一个群的同时，又是另一个群的子集，称为子群。

3.Lagrange定理

这里介绍L定理的一部分：称群的元素数量为阶数，则一个群的任何一个子群阶数都是该群阶数的因数。而且有限群可以被划分成任何一个子群以及该子群乘以一些G中的其他元素。（比如说，设乘法群G=模4剩余类，H=模4余1的数，则G可以被划分成H和H×2、H×3）

这个看起来平平无奇的定理有什么用处呢？可以推出如下结论：（1）素数阶群肯定是循环群。（注意，循环群不代表任何元素都是该群的生成元！）

为什么？举个例子。假设7阶群不是循环群，则意味着7阶群存在元素数量不是1也不是7的子群。假设阶数是2，那意味着7肯定是2的倍数。所以，推广论证，素数阶群必定是循环群。

（2）假设一个群G的阶数为|G|，则群中任何一个元素a都满足a^|G|=e。

再再次明显可见，G一定能被划分为若干循环群，而且这些循环群的阶数肯定不大于|G|。因此，a^|G|=e。

4.费马小定理：一个简洁的证明

费马小定理：设p是素数，则对于任意整数a，都有：

a^p=a(mod p)

举几个例子简单验证一下：整数6，素数7，6的7次方=279936，279936=39990×7+6 整数4，素数3，4的三次方=64=20×3+4 整数5，素数17，5的17次方=762,939,453,125=44,878,791,360×17+5

如何证明呢？首先假设互质数a和m，假设有f(m)个不大于m但与m互质的整数，则a^f(m)=1(mod m)。这是为什么呢？其实也很明显（理论数学的大部分定理感觉上都很符合直观感受，除了一些例外比如魏尔斯特拉斯函数）。考虑模m剩余类，将其中的合数剔除掉之后就是一个单位元1的循环群。f(m)的阶数正好是该循环群的阶数，所以，a^f(m)=1(mod m)。

所以，a^p－1=1(mod p)

所以，a^p=a(mod p)

假设你要加密一串数字（n个，n>4）设这n个数字构成｛an｝的前n项，构造一个代数方程(x-a1)(x-a2)...(x-an)=0，这个方程大概率是并不根式可解的方程，也就实现了数学上无法破解。

屠支并不解决问题，主张屠支的人完全是自己想屠支。冲浪TV直白地说清楚自己就是为了屠支而屠支，但品葱却在找理由说屠支可以解决问题

@消极 #188090 支性这个事是一直有，但这个词有支之后才有

@消极 #188079 支性并不因为你是诸夏人就消失了，著名政治家krd的名言：只要有支人的身份认同就是支人

因为支**（用词代表站方立场）人就是欠图， 图多了支（用词代表站方立场）**人就会很尊敬你，图少了就很想杀了你。所以我图了四十万赵卒，去赵国他们还不焚香遮道而拜，回秦国那就好死，开香槟咯！

杨摩西回到县政府菜园子，一个人坐在地头想。除了事情有些突然，事情还有些不一般。先想入赘。别人结亲都是男娶女，这里结亲却是女娶男，一切得倒着来。事情本末倒置，首先看起来就不顺。但接着又想，正着或倒着，放到别人那里是件大事，放到自己这里，如老崔所言。真得另外计较。不是女娶男，自己还摊不上这好事。就算不是女娶男，换成男娶女，把颠倒的事情再颠倒过来，不说娶不到，就算娶得到，吴香香不要他入赘，让他明媒正娶，杨摩西房无一间，地无一垄，还能把吴香香娶到哪里去？现成的地方。只能娶到杨家庄了。先不说娶到杨家庄吴香香会不会同意；吴香香现在城里，杨家庄是乡下；就算吴香香同意，杨家庄和卖豆腐的老杨，杨摩西首先不愿意见到；就是愿意见到，卖豆腐的老杨，也没有现成的房子让他娶亲。倒是入赘，给杨摩西省去不少麻烦和口舌。又想改姓的事，别人结亲皆是名正言顺，自己结个亲。还得改姓。但又想，自己的名字，以前也不是没被人改过；为了找个事由，他就信过主，改叫“杨摩西”。当然，改了名姓就不是自己了，可几年下来，自己换一个活路，改一回禀性，瓤里早不是自己了。没必要徒讲外表。当然改姓与改名又有不同，改名只是改自个儿的称呼。改姓连祖宗都丢了。但杨摩西自生下以来，没感到祖宗给自己带来什么好处，倒尽添些麻烦。最大的麻烦是，改了尽添麻烦的它，反叫天下人耻笑。还有，吴香香是一个寡妇，寡妇吧，还带一个孩子，一过门，先得替别人养着崽子。又有些犹豫。比这些更重要的是，如是四个月前碰到这事，杨摩西仍在街上挑水，不管是入赘也好，改姓也好，寡妇带个孩子也好。自己正走投无路，等于天上掉下个馅饼，没啥好思摸的。但现在自己进了县政府，虽不是县长，是一种菜的，也算有一正经营生。长此以往，万一混出个头脸，提前入赘改姓，嫁了寡妇。那时反要后悔。但他上个月刚刚得罪县长老史，虽然仍在种菜，头上却悬着一把剑。老史高兴，他仍能在县政府种菜；万一老史哪天不高兴了，把他赶走，他又得流浪街头去挑水。如能在县政府长待，他没必要入赘和改姓；如早晚有一天要挑水，趁此成个家，也是个退路。到街上挑水，仍是房无一间，地无一垄；嫁了吴香香，倒有个现成的馒头铺接着他，也就不用再到街上挑水了。换句话，这亲该不该成，从根上论，并不取决于自己，而取决于县长老史。老史到底是咋想的，吴摩西又无从得知。无人提亲还没这些烦恼，有人提亲，倒叫人犯起愁来。更让人犯愁的事，遇到犯愁的事，满世界的人，没个商量处。这时他突然想起了老詹。在自己交往过的人中，还就他算个忠厚人。虽然不会传教，但也从来不害人。于是走出菜园子，走出县政府，信步走向西关破庙，去找老詹。到得破庙，老詹刚从乡下传教回来，正坐在床边吸烟。几个月不见，老詹似乎老了许多。见到杨摩西，老詹倒不感到意外：

“阿门，我知道，你早晚会回来。”

杨摩西以为老詹误会了他的意思。忙说：

“师傅，我这次回来，不是那个回来。”

谁知老詹没误会他，说：

“不是说你回来当徒弟，你总有忧愁。”

杨摩西忙点头：

“就是来跟师傅商量个事。我是谁，从哪儿来，就不说了，又犯愁往哪儿去了。”

便把老崔给自个儿说媒的事，从吴香香说起，怎么要招赘和改姓，中间拐了几道弯，又拐到了县长老史身上，一五一十，来龙去脉，给老詹说了。这个老史，因为教堂的事，老詹曾跟他吵过。老詹首先说：

“这个老史，不是主的子民。”

又看了杨摩西一眼：

“孩子，头一回我不以主的名义。以你大爷的名义给你说，遇到小事，可以指望别人；遇到大事，千万不能把自个儿的命运，拴到别人身上。”

说的是老史了。接着替杨摩西发愁：

“可咱靠自个儿，又有啥可靠的呢？”

接着又说：

“咱自个儿啥都没有，就不能怪别人有苛求了；咱自个儿说不起话。就不能怪别人有言在先了。”

指的是招赘和改姓的事了。老詹往床帮上梆梆地磕着烟袋，又感叹一声：

“啥叫悲呀？非心所愿谓之悲呀。”

杨摩西：

“师傅，你的意思，是不理会这事了。”

老詹：

“事情这么别扭，按说不该理会，可叫大爷说，换成别人别扭，换成你，咱还是‘嫁’了吧。”

杨摩西：

“为啥？”

老詹：

“因为从你心里讲，你还是愿意的。”

杨摩西：

“如果愿意，我就不找你商量了。”

老詹：

“你恰恰说反了，如果不愿意，你早不说这事了；恰恰是找我商量，证明你心里愿意。”

杨摩西要说什么，老詹用手止住他：

“愿意就对了。摩西呀，你比离开我时强多了，知道自个儿是谁了。知道自个儿是谁，才能明白往哪儿去呀。”

过去跟老詹学经时，老詹讲主，一讲一夜，杨摩西一句没听进去；现在换成说杨摩西，杨摩西倒觉得句句中的，不禁潸然泪下。

@消极 #187557 哦？那这么说法国民主后倒真是战无不胜了（指利比亚战争）

要感谢现在有核武器了，否则不知道什么时候德三又一次抢在法国投降前进入巴黎

民主国家几乎永远站在胜利的一方（指法国）

@翻墙蟹 #187525 不要为你不能左右的事情而担心

东邻徐步畏斜阳，清瑟一如清夏长。

已识黍离非我意，不知何处是君乡？

朝露自悲多去日，浮云别后永相望。

涉水褰裳归蜀客，同卿倚酒醉秋凉。

日月星辰和四时。

骖驾驷马从梁来。

郡国士马羽林材。

总领天下诚难治。

和抚四夷不易哉。

刀笔之吏臣执之。

撞钟伐鼓声中诗。

宗室广大日益滋。

周卫交戟禁不时。

总领从官柏梁台。

平理请谳决嫌疑。

修饰与马待驾来。

郡国吏功差次之。

乘舆御物主治之。

陈粟万石扬以箕。

徼道宫下随讨治。

三辅盗贼天下危。

盗阻南山为民灾。

外家公主不可治。

椒房率更领其材。

蛮夷朝贺常会期。

柱枅欂栌相枝持。

枇杷橘栗桃李梅。

走狗逐兔张罘罳。

啮妃女唇甘如饴。

迫窘诘屈几穷哉。

注：战国之后的七言诗歌仍未离开楚辞的体裁，一般认为脱离这种体裁的过程，就是七言诗歌的产生过程。汉代的（非楚辞体）七言诗歌主要有西汉《柏梁台诗》，东汉张衡《四愁诗》等，七言歌行的正式成立是建安时期曹丕的《燕歌行》。

@李太白01 #184235 文章是说他的诗，他本人与本文无关。你可以开新帖。

薤露行

惟汉廿二世，所任诚不良。

沐猴而冠带，知小而谋强。

犹豫不敢断，因狩执君王。

白虹为贯日，己亦先受殃。

贼臣持国柄，杀主灭宇京。

荡覆帝基业，宗庙以燔丧。

播越西迁移，号泣而且行。

瞻彼洛城郭，微子为哀伤。

蒿里行

关东有义士，兴兵讨群凶。

初期会盟津，乃心在咸阳。

军合力不齐，踌躇而雁行。

势利使人争，嗣还自相戕。

淮南弟称号，刻玺于北方。

铠甲生虮虱，万姓以死亡。

白骨露于野，千里无鸡鸣。

生民百遗一，念之断人肠。

春风东来忽相过，金樽渌酒生微波。

落花纷纷稍觉多，美人欲醉朱颜酡。

青轩桃李能几何，流光欺人忽蹉跎。

君起舞，日西夕。

当年意气不肯平，白发如丝叹何益。

禁止删除楼下的评论，如果我就觉得感到冒犯恶意灌水，但是你站管理员不觉得是灌水，我怎么办？

而且就算真的能通过这种机制解决恶意评论，以你站管理员的效率，时效太低了吧？

你站的最大问题是越来越与pincong.rocks同质化，现在连政策也一模一样“政令必出管理员”了属于是。但是就你站这点流量搞这种竞争绝不可能赢得了隔壁

前面说“楼是楼主负责”也是你们，现在说“评论和回答是评论贡献者的个人资产”也是你们，无语。

【李贺】

幽兰露，如啼眼。

无物结同心，烟花不堪剪。

草如茵，松如盖。

风为裳，水为佩。

油壁车，夕相待。

冷翠烛，劳光彩。

西陵下，风吹雨。

这句话存在逻辑错误。

“落后不会挨打，犯贱才会挨打”包含的条件是“落后必然不犯贱”，否则一个“既落后又犯贱”的对象无法判断是否挨打。薛定谔的挨打

@natasha #183492 俟风月还，立换之。

@刺刺 #183474

對於無限旅館的概念，影片科普的挺清楚的

其实这只是集合势和可数性的一个形象表述（可数个可数集并集还是可数集，无限个旅游团和一个旅游团是等势的）

@刺刺 #183474 前面这几个旅游团的例子皆是前贤所举，精彩贴切。

最后一个细菌的例子是我原创的，感觉并不那么convincing。

你不会看西方媒体吗？

这问题问的……决定西方国家经济的根本因素不是西方国家的生产要素么？主要是资本和技术，你的技术还在，经济水平怎么会下降呢？

至于你说的，中国消费市场没了，是，这样在中国这个市场赚不到钱了，但是西方的钱也不是白赚的，是拿自己的产品和服务换的。

赚不到钱只是一个方面，另一面是这些产品和服务更多可以用于服务西方自己……

……

决定某国经济水平的根本因素不是需求多少而是生产要素（供给能力），萨伊定律了解一下谢谢

风月是最好人多处闹的，今日反不来，自然是因为当时气着了。再不然，她见我不去，她也没心肠去。只是我千不该万不该走了也不回来说一声。管定她再不来了，还得我请了她才来。

在某些键政人的平论里，带支的任何事物他们都能看透。国内高等教育经常被他们下各种定义，但他们自己永远发不出一篇能上北大核心的论文

李陵《答苏武书》在《史记》、《汉书》中均未收录，最早出现在梁代萧统的《文选》中。继南朝宋颜延之提出其为假托之说后，唐代刘知幾、宋朝苏轼、清人浦起龙等均视之为后世拟托之作。“五四”以后，疑古思潮风行，更多的学者对其真实性进行否认。新中国成立后编写的《中国文学史》基本上都不予承认。由于资料阙如，仅依据文章风格、李陵的身份以及书信中相关史料来论证真伪的成果很难让人信服。20世纪以来大量出土的汉代简牍书信为研究该问题提供了新的思路。笔者从书信格式语言特征入手，结合汉代思想、社会结构的发展演变，认为《答苏武书》落款处以“顿首”为具礼，不符合当时书信写作规范，因此倾向于认为《答苏武书》是伪作。

鱼雁传书，是汉代民众广泛使用的人际交往手段。完整的简牍书信包括上款、内容和下款，不过传世文献中这些格式语言多被省略。简牍书信保留了汉代书信的原始文本，得以管窥其基本特征。汉代书信中基本没有时间信息，能确定属于西汉的简牍书信其上下款格式语言如下：安徽天长汉墓年代为西汉中期偏早，出土的书信有：“丙充国谨伏地再拜请孟马足下……□伏地再拜”（M19：40-5）；“贲且伏地再拜请……伏地再拜孺子孟马足下”（M19：40-10）；“……伏地拜以闻幼功马足下”（M19：40-18）；“……伏地再拜再拜孟幡车几幸以贾赐之遂止毋车（幸）甚甚”（M19：40-20）；“……伏地再拜请孟马足下”（M19：40-12）。敦煌悬泉汉简中的两封书信出土于第三堆积层，时间属于西汉中后期。《悬泉汉简》Ⅱ0114③：610载“建伏地请中公夫人足下……”；《悬泉汉简》Ⅱ0114③：611载“元伏地再拜请子方足下……元伏地再拜再拜”。酒泉玉门花海写于一件觚上书信年代为西汉中后期，“弟时谨伏地再拜请翁系足下善毋恙……伏地再拜请/时伏愿翁系有往来者幸赐记令时奉闻翁系□严教”。《居延新简》中有：“马常叩头白/君卿足下毋恙元始元年二月甲子不侵候长。”（E.P.T10：6）

检索敦煌汉简、居延汉简、居延新简中材料，书信上款具礼形式有“伏地再拜”、“叩头”、“再拜”三种，凡有落款的，其形式必与上款呼应。书信写作时间与汉代政权向西北发展时间一致，为汉武帝到东汉中期。

根据以上材料归纳出西汉到东汉中期书信格式语言写作特征：第一，格式基本固定，并且应在全国范围内通用。因为无论内地如安徽天长，还是边地的居延、敦煌，书信书写格式基本一致。第二，格式语言基本固定。上款一般包括致书人的称谓、具礼、启事语、受书人称谓。如有下款，则具礼方式与上款保持一致。第三，具礼中使用的拜礼有“伏地再拜”、“再拜”、“叩头”。第四，简牍书信中无论受书人社会地位、性别有何差别，格式语言基本一致。

西汉到东汉中期的简牍书信格式语言均不见有“顿首”字样。然而它却频繁出现在年代属于东汉灵帝时期的长沙东牌楼简牍书信中。与之前相比，东牌楼书信具礼形式变化很大，不再是之前的比较单一，而是呈现出差别化特征。有些没有具礼，如“属白”（J7⑤:1168）、“原白”（J7③:1064）；有些是礼敬程度较轻的“再拜”，如“犹再拜”（J7⑤:1134）、“堂再拜陈主薄侍前”（J7⑤:1137）；有些则是非常隆重的“顿首”，如“客贱子侈顿首再拜督邮侍前……贱子习逸公惶恐顿首”（J7②:1006）。属于魏晋时期的楼兰、尼雅简牍的书信明显地承袭了东汉后期书信的写作格式，说明东牌楼书信样式并非局限在长沙一隅，而是具有时代共性。

“顿首”作为书信格式语言从无到有的演变与汉代思想文化发展和社会结构的演变历程相一致。

首先，“顿首”作为书信格式语言是儒学礼乐文化向社会渗透的表现。“顿首”是周礼“九拜”中礼敬隆重的拜礼之一。作为先秦文化传统，秦和西汉时期用于君臣之礼以及一些特殊场合表示拜谢或请罪，但它并未纳入到章奏文书的上下款格式用语中。章奏文书使用“昧死再拜”、“昧死言”。《史记·三王世家》载有朝廷大臣奏请册封皇子的完整奏书，其起首、结束的格式语言为“昧死言”、“昧死再拜”。武威出土的《王杖诏书令册》中有成帝时公乘广的上书，起首语“昧死上书”，结束语“昧死再拜以闻皇帝陛下”。章奏中虽有“顿首”字样，但不是纯粹书面格式用语而是行文内容。如霍光与群臣奏请废除昌邑王的奏章：“丞相臣敞、大司马大将军臣光……太中大夫臣德、臣卬昧死言皇太后陛下：臣敞等顿首死罪。天子所以永保宗庙总壹海内者……臣敞等昧死以闻。”

汉武帝独尊儒术以后，儒家思想提倡的礼乐文化逐渐渗透到汉代政治社会方方面面。蔡邕在《独断》中说“王莽盗位，慕古法，去‘昧死’，曰‘稽首’。光武因而不改”。其格式如下：“章者需头，称稽首，上书谢恩陈事诣阙通者也。奏者亦需头，其京师官但言稽首，下言稽首以闻。其中者所请，若罪法劾案公府送御史台，公卿校尉送谒者台也。表者不需头，上言臣某言，下言臣某诚惶诚恐，稽首顿首死罪死罪，左方下附曰某官臣某甲上。”保存下来的史料印证了变化后东汉章奏文书的式样。《孔庙置守庙百石孔龢碑》载有：“司徒臣雄、司空臣戒稽首言……诚惶诚恐顿首顿首死罪死罪臣稽首以闻”；蔡邕戍边时上书为“朔方髡钳徒臣邕稽首再拜上书皇帝陛下……臣顿首死罪稽首再拜以闻”。“顿首”出现在《鲁相史晨祠孔庙奏铭》、《无极山碑》等东汉官员给尚书的公务文书的上款下款中，表明儒家有等差的拜礼形式已运用到政治生活中。

之后随着官文书文化和儒学对民间社会的浸染，“顿首”礼逐渐下移至民间社会，大概在东汉中后期成为民众书信中的具礼方式。这样的过程与思想文化发展的轨迹相一致，得到长沙东牌楼简牍书信资料的印证。

其次，“顿首”作为书信格式语言是东汉社会结构变化的结果。战国秦汉之际的社会变革摧毁了西周以来的宗法社会结构。新兴地主阶级建立的秦汉政权通过一系列政策确立了皇帝之外广大民众拥有相对平等的“齐民”身份。《史记·平准书》中注“齐民”曰：“齐等无有贵贱，故谓之齐民。若今言‘平民’矣。”“齐民”在被剥削的同时，在社会政治生活中还拥有相对平等的地位，可以上书参政议政、接受教育、进身仕途等。统治集团面向社会开放，不拘一格起用人才。“朝为田舍郎，暮登天子堂”的无数事例，预示着每个社会成员未来发展的无限可能性。社会个体都有资格获得他人的尊重，他人不能因一时一地的境况而随便看轻别人。身为琅邪太守的赵贡，在见到属下不其县丞薛宣时，不仅与之倾心交接，而且把他领回家中与妻儿相见，就是因为看到了薛宣的远大前程：“赣君至丞相，我两子亦中丞相史。”这样的社会结构体现在社交书信中，就是书信上款下款的称谓、具礼格式固定统一，充满了对受书人的礼敬之情。

从西汉后期到东汉，社会结构发生了变化：“两汉时期，社会结构的特征表现为从汉初的平民社会逐步随着豪族势力的宗族化进程而渐次向宗族社会演变并由豪族宗族阶层构成汉代宗族社会结构的上层。”豪族是汉代社会结构中的一个重要阶层，中外学者有大量相关的论述。西汉后期，豪族还只是个别现象，东汉时，具有大地产性、世官性、地方性、经学化、武装性等多重特征的豪族成为国家权力的基础。东汉中期以后，豪族与地方、中央权力结合日益密切并迅速发展，通过出任郡县官吏掾史、乡三老、里父老等实现对基层社会的控制并显示着本阶层的实力。豪族的出现，改变了皇权面前人人齐等的身份特征，社会结构呈现出等差化。社会现实反映在书信中，表现为对受书人具礼方式轻重有等的多样化。

相关传世文献的流传，使《答苏武书》中的语言风格、内容情感均有可能被后人领会而假托。然而，魏晋以后西汉书信的载体难觅其踪迹，格式语言的式样和蕴含的文化信息湮没无闻。假托之作难以把握，一点痕迹露了马脚。

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作者简介：郭炳洁：（1972—）河南新乡人，历史文化学院教授，历史学博士。主要从事秦汉史、中国教育史、河洛文化研究。1995-1998年河南大学获中国古代史硕士学位，2006-2009年中国人民大学获中国古代史博士学位。

吐了，所以现在已经无以与言《诗》了么？

这个无人问津的惨样……

花鸟风月放下无用的矜持速来和我结婚！

（如果看到请私信我）

取我缁衣，将以贸穗。心之忧矣，之子不至。

着我缁衣，以望子骑。子骑不至，曷弭我思？

褪我缁衣，以听子辔。子辔不至，曷令我寐？