1.群是什么？
群是一种特殊的集合。（为什么群不直接叫集合而叫群呢？因为群论诞生的时候集合论还早呢）。群中的元素满足如下特点：定义加法（或乘法）运算，存在单位元，单位元的意思是，假如有一个单位元e，e+a=a（对于加法群），或者ea=a（对于乘法群）。所有元素都有逆元，意思是，对任何群的元素a，都能找到一个b，使得ab=e（或者a+b=e）。
群一定是封闭的，比如对一个乘法群来说，其中任意两个元素相乘结果一定还是群中的元素。
举一些典型群的例子，如整数集构成加法群，单位元为0。非0有理数集构成乘法群，单位元为1。还存在一些群元素有限，比如｛1, √ 3 ／2－1／2, -√ 3 ／2－1／2｝。这个集合构成一个乘法群。（实际上这个集合是x^3=0的解。）
再比如，所有除3余2的数、除3余1的数、3的倍数也构成乘法群，表示为｛0(mod 3), 1(mod 3), 2(mod 3)｝,或者Z3。
2.两个群的交集只有两种情况，要么为空集，要么为单位元，要么为一个群，不会出现任何其他情况。
道理很明显，假设两个群A，B交集中有两个元素分别为e和一个不同元素a。那么a* a一定还是A中的元素（因为A是群，封闭）也一定还是B中的元素（同理），所以一定还是交集中的元素。同样的道理，所有可以由a“生成”的元素都在这个交集中。再次同样的道理，a的逆元肯定也在这个交集中。所以交集也是个群。
哦对了，如果这个群的所有元素都可以由a生成，我们称之为循环群。循环群的一个例子是，模3剩余类。而这种自己本身是一个群的同时，又是另一个群的子集，称为子群。
3.Lagrange定理
这里介绍L定理的一部分：称群的元素数量为阶数，则一个群的任何一个子群阶数都是该群阶数的因数。而且有限群可以被划分成任何一个子群以及该子群乘以一些G中的其他元素。（比如说，设乘法群G=模4剩余类，H=模4余1的数，则G可以被划分成H和H×2、H×3）
这个看起来平平无奇的定理有什么用处呢？可以推出如下结论：（1）素数阶群肯定是循环群。（注意，循环群不代表任何元素都是该群的生成元！）
为什么？举个例子。假设7阶群不是循环群，则意味着7阶群存在元素数量不是1也不是7的子群。假设阶数是2，那意味着7肯定是2的倍数。所以，推广论证，素数阶群必定是循环群。
（2）假设一个群G的阶数为|G|，则群中任何一个元素a都满足a^|G|=e。
再再次明显可见，G一定能被划分为若干循环群，而且这些循环群的阶数肯定不大于|G|。因此，a^|G|=e。
4.费马小定理：一个简洁的证明
费马小定理：设p是素数，则对于任意整数a，都有：
a^p=a(mod p)
举几个例子简单验证一下：整数6，素数7，6的7次方=279936，279936=39990×7+6 整数4，素数3，4的三次方=64=20×3+4 整数5，素数17，5的17次方=762,939,453,125=44,878,791,360×17+5
如何证明呢？首先假设互质数a和m，假设有f(m)个不大于m但与m互质的整数，则a^f(m)=1(mod m)。这是为什么呢？其实也很明显（理论数学的大部分定理感觉上都很符合直观感受，除了一些例外比如魏尔斯特拉斯函数）。考虑模m剩余类，将其中的合数剔除掉之后就是一个单位元1的循环群。f(m)的阶数正好是该循环群的阶数，所以，a^f(m)=1(mod m)。
所以，a^p－1=1(mod p)
所以，a^p=a(mod p)
