@消极 #177983 下次在我这废话之前，点个赞先。

如果没有这个命题，你怎么推出an=(1+1/n)^n和bn=1+Σ(1/n!)收敛于同一个值

两个数列{an}{bn}，当m和n充分大时，对于所有n，均有an<bn。同时对于任意一个m，都能找到一个N，使得在n>N时，满足an>bm。那么，如果bn收敛于b，则an也收敛于b。

这个命题和e关系很大。稍有微积分常识的人都知道，有两种极限趋近于e：

an=(1+1/n)^n

bn=1+Σ(1/n!)

而这个an和bn也满足上面题目所描述的条件。因此他们的极限是相同的。

@消极 #177895 没有这个条件的限制。

而且a,b,c在我这里表示的是点不是边，点的长度是零，不能做加减法。。。。。。

来源：《数学分析教程》 中国科学技术大学出版社 page12 作者：常庚哲，史济怀

假设a,b,c是三个给定的实数。令a0=a,b0=b,c0=c，并归纳地定义：

证明：数列{an},{bn},{cn}都有极限，且极限是1/3(a+b+c)。

当然，这个题目非常好证明，而且证明方法多而精彩。所以证明过程我就不写了。非要我写的话，请先打赏8.964人民币。

但是这个题目值得分享的地方在于，其几何表述非常有趣。显然，a1就是b0和c0的中点。假设有一个三角形，三个端点分别是a0,b0,c0.

obviously，从a0到an，这个三角形的面积在不断递减，而且下一个三角形的面积是上一个三角形的一半。由极限的定义可以证明，当n趋向于无穷的时候，这个三角形面积为零。进一步得出结论：an=bn=cn=1/3(a+b+c)。